2018 年考研数学（一） 第 7 题

条件 $f(1+x)=f(1-x)$ 是对称性的代数写法，信号明确：密度关于 $x=1$ 对称，总面积在轴两侧各占一半。有了这根轴，$[0,2]$ 关于它对称，故 ${\int }_0^1={\int }_1^2$ 各为 $0.3$；再用 ${\int }_{-\infty }^1=0.5$ 做差补出 ${\int }_{-\infty }^0$。全程无需 $f$ 的具体表达式，靠对称性搬运面积即可。

本题考查概率密度的对称性。 由 $f(1+x)=f(1-x)$ 知 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，故
$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{0.3.}$$

又由对称性，${\int }_{-\infty }^{1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}=0.5$，于是
$$P\{X<0\}={\int }_{-\infty }^{0}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{1}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0.5-0.3=\mathrm{0.2.}$$

应选 A。