2018 年考研数学（一） 第 6 题

面对抽象秩等式，标准策略是"能证则证、不能则举反例"。有一项的结构 $(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})$ 天然可分解为 $\mathbf{A}(\mathbf{E},\mathbf{B})$，一眼给出 $\le r(\mathbf{A})$；又因拼接矩阵含 $\mathbf{A}$ 的全部列，秩不减，得 $\ge r(\mathbf{A})$，两头一夹即等号。其余选项凭直觉找一两个小矩阵反例即可否掉，省时高效。

本题考查分块矩阵的秩。 注意到 $(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})=\mathbf{A}(\mathbf{E},\mathbf{B})$，

于是 $r(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})=r[\mathbf{A}(\mathbf{E},\mathbf{B})]\le r(\mathbf{A})$；又分块矩阵 $(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})$ 含有 $\mathbf{A}$ 的全部列，故 $r(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})\ge r(\mathbf{A})$。

两式合并得 $r(\mathbf{A},\mathbf{A}\mathbf{B})=r(\mathbf{A})$，应选 A。（B、C、D 均可举反例否定。）