2018 年考研数学（一） 第 5 题

四个矩阵与 $\mathbf{M}$ 的特征值都是三重 $1$，说明"特征值"这一粗筛失效，必须动用更细的相似不变量。对特征值全为 $1$ 的三阶矩阵，相似类由约当块决定，而约当结构可由 $r(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 读出（秩相同即同型）。于是只需算出 $r(\mathbf{E}-\mathbf{M})$，再找秩与之相等的选项，就避开了求过渡矩阵的繁琐。

本题考查相似矩阵的判定。 记 $\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。四个选项与 $\mathbf{M}$ 的特征值都是三重 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

特征值全为 $1$ 的三阶矩阵，其相似类由 $\mathbf{E}-\mathbf{M}$ 的秩（即约当块结构）决定。计算：
$$\mathbf{E}-\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),r(\mathbf{E}-\mathbf{M})=2.$$

又 $\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=2$；而 $\mathbf{E}-\mathbf{B}$、$\mathbf{E}-\mathbf{C}$、$\mathbf{E}-\mathbf{D}$ 的秩均为 $1$。

只有 $r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=r(\mathbf{E}-\mathbf{M})=2$，故 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{M}$ 相似，应选 A。