2018 年考研数学（一） 第 4 题

对称区间加"比较大小"，信号是"能算的算、不能算的放缩"，尽量少算。$M$ 的分子展开后分出奇函数 $\frac{2x}{1+x^2}$，在对称区间上积零，$M=\pi$ 一步到位。$N,K$ 精确值难求，但都能与常数 $1$ 比较：由 ${\mathrm{e}}^x\ge 1+x$ 知 $\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}\le 1$，由根号非负知 $1+\sqrt{\cos x}\ge 1$。把三者统一到与同一基准 $1$ 的比较上，大小关系自然浮现。

本题考查定积分的计算与比较。 先算 $M$：

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\frac{2x}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x=\pi ,$$
其中 $\frac{2x}{1+x^2}$ 为奇函数，积分为 $0$。

当 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时，$1+\sqrt{\cos x}>1>\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}$（后者因 ${\mathrm{e}}^x\ge 1+x$）。故
$$K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})\mathrm{d}x>{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x=\pi =M>{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x=N.$$

即 $K>M>N$，应选 C。