2018 年考研数学（一） 第 3 题

见到 $(-1{)}^n$ 搭 $(2n+1)!$，几乎必是 $\sin /\cos$ 的麦克劳林级数在 $x=1$ 取值，唯一障碍是分子的 $2n+3$。思路就是"拆分子去配阶乘"：$2n+3=(2n+1)+2$，$(2n+1)$ 约掉一个因子后阶乘降为 $(2n)!$，常数项仍是 $(2n+1)!$，级数随即拆成两个已知和。识别标准展开式、并用拆项使分子与阶乘匹配，是本题的钥匙。

本题考查 $\sin x$、$\cos x$ 的幂级数展开。 把分子 $2n+3=(2n+1)+2$ 拆开：

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{2n+3}{(2n+1)!}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}+2\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{(2n+1)!}.$$

利用 $\cos 1=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}$，$\sin 1=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}$，得原式 $=\cos 1+2\sin 1$。

即 $2\sin 1+\cos 1$，应选 B。