2018 年考研数学（一） 第 2 题

题目要"与曲面相切"的平面，核心是先定切点——切平面由切点和该点法向量唯一确定。于是设切点、写出法向量 $(2x_0,2y_0,-1)$，再把两个"过定点"条件转化为法向量与平面内向量的正交关系，连同切点在曲面上凑成三个方程。因方程非线性，往往解出两组切点、两张切平面，选项也正是两张平面配对，注意不要只取一组。

本题考查曲面的切平面。 设切点为 $(x_0,y_0,z_0)$，曲面 $F=x^2+y^2-z=0$ 在该点的法向量为 $(2x_0,2y_0,-1)$。

切点在曲面上且切平面过 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$，得
$$\{\begin{array}{l}{z}_0=x_0^2+y_0^2,\\ (2x_0,2y_0,-1)\cdot (1,-1,0)=0,\\ (2x_0,2y_0,-1)\cdot (x_0-1,y_0,z_0)=0.\end{array}$$

解得 $\{\begin{array}{l}{x}_0=0\\ y_0=0\\ z_0=0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=1\\ z_0=2\end{array}$。

当切点为 $(0,0,0)$ 时，法向量 $(0,0,-1)$，切平面为 $z=0$；当切点为 $(1,1,2)$ 时，法向量 $(2,2,-1)$，切平面为 $2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0$，即 $2x+2y-z=2$。

故所求切平面为 $z=0$ 与 $2x+2y-z=2$，应选 B。