2018 年考研数学（一） 第 1 题

四个选项只在 $x=0$ 附近的绝对值/根号结构上不同，信号就是"可导性对 $|x|$ 敏感"。因此不必硬求导，直接用定义看差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 的左右极限是否一致：关键在分子中 $|x|$ 的最低次幂——只要出现一次的 $|x|$，$|x|/x$ 左右反号，极限便不存在。先用等价无穷小把三角函数化简、再比阶，就能快速锁定不可导者。

本题考查导数定义。 对每个选项考察 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 是否存在。

(A) $\sin |x|\sim |x|$，故 $f(x)-f(0)=|x|\sin |x|\sim x^2$，$f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0$，可导。

(B) $f(x)-f(0)=|x|\sin \sqrt{|x|}\sim |x{|}^{3/2}$，$f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{|x{|}^{3/2}}{x}=0$，可导。

(C) $\cos |x|=\cos x$ 为偶函数，处处可导，$f^{\prime }(0)=0$。

(D) $f(x)-f(0)=\cos \sqrt{|x|}-1\sim -\frac{1}{2}|x|$，于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \sqrt{|x|}-1}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$，左、右极限分别为 $\mp \frac{1}{2}$，极限不存在，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

综上，应选 D。