2018 年考研数学（一） 第 21 题

第一问抓住"初等变换不改变秩"这个不变量，令 $r(\mathbf{B})=r(\mathbf{A})=2$ 便解出 $a$。第二问核心是把矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$ 拆成逐列的线性方程组 $\mathbf{A}{\mathbf{X}}_i={\mathbf{\beta }}_i$，它们系数矩阵同为 $\mathbf{A}$，于是对 $(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})$ 作一次行化简即可同时读出三列的解。因 $\mathbf{A}$ 降秩，解带自由参数，最后用"$\mathbf{P}$ 可逆"筛掉使列相关的取值。

（Ⅰ） 初等列变换不改变矩阵的秩，故 $r(\mathbf{B})=r(\mathbf{A})$。对 $\mathbf{A}$ 化简知 $r(\mathbf{A})=2$。

对 $\mathbf{B}$：
$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2-a\end{array}\right),$$
要 $r(\mathbf{B})=2$，需 $2-a=0$，故 $a=2$。

（Ⅱ） 当 $a=2$ 时，$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -2\end{array}\right)$，$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$。设 $\mathbf{P}=({\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,{\mathbf{X}}_3)$，则 $\mathbf{A}{\mathbf{X}}_i$ 等于 $\mathbf{B}$ 的第 $i$ 列。对增广矩阵作行变换：
$$(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 6& 3& 4& 4\\ 0& 1& -2& -1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

齐次方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系为 $(-6,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，于是
$${\mathbf{X}}_1=k_1\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_2=k_2\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_3=k_3\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right).$$

故所求可逆矩阵为
$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-6k_1+3& -6k_2+4& -6k_3+4\\ 2k_1-1& 2k_2-1& 2k_3-1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right),$$
其中 $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数且 $k_2\ne k_3$（以保证 $\mathbf{P}$ 可逆）。