2018 年考研数学（一） 第 20 题

$f$ 已写成平方和，这是巨大提示：$f=0$ 等价于三个线性式同时为零，(Ⅰ) 直接化成齐次方程组，解的情况随 $a$ 变，靠系数行列式 $a-2$ 分类。(Ⅱ) 规范形取决于正、负惯性指数：若三条线性式独立（行列式非零），作可逆线性替换即得 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$，正定；当 $a=2$ 三式相关、秩为 $2$，重新配方发现只有两个正平方，规范形降为 $y_1^2+y_2^2$。抓住"平方和结构 + 线性式是否独立"即可。

（Ⅰ） $f=0$ 当且仅当每个平方项为零，即齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0,\\ x_2+x_3=0,\\ x_1+a{x}_3=0.\end{array}$$
对系数矩阵作初等行变换：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a-2\end{array}\right).$$

当 $a\ne 2$ 时，$f=0$ 只有零解 $(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}=(0,0,0{)}^{\mathrm{T}}$；
当 $a=2$ 时，$\mathbf{A}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$f=0$ 有非零解 $(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}=k(-2,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 为任意常数）。

（Ⅱ） 作线性变换 $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$，则 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$。

当 $a\ne 2$ 时，$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right|=a-2\ne 0$，变换可逆，故 $f$ 正定，规范形为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$。

当 $a=2$ 时，配方：
$$f=2x_1^2+2x_2^2+6x_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3=2{\left(x_1-\frac{x_2}{2}+\frac{3x_3}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}(x_2+x_3{)}^2,$$
只含两个正平方项，秩为 $2$，规范形为 $y_1^2+y_2^2$。