2018 年考研数学（一） 第 22 题

(Ⅰ) 直接展开协方差定义，善用 $X$ 对称分布给出的 $E(X)=0,E(X^2)=1$ 及独立性把期望拆开，$\mathrm{Cov}$ 便坍缩成 $\lambda$。(Ⅱ) 求 $Z=XY$ 的分布，关键是意识到符号由 $X=\pm 1$ 定、幅值由泊松的 $Y$ 定，故按 $k$ 的正负零分类：$k>0$ 需 $X=1,Y=k$；$k<0$ 需 $X=-1,Y=-k$；$k=0$ 则 $Y=0$、$X$ 任意，要把两支相加。分类讨论加独立拆积是主线。

（Ⅰ） 由 $X$ 的分布 $E(X)=0$，$E(X^2)=1$；$Y\sim P(\lambda )$，$E(Y)=\lambda$，且 $X,Y$ 相互独立。故
$$\mathrm{Cov}(X,Z)=\mathrm{Cov}(X,XY)=E(X^{2}Y)-E(X)E(XY)=E(X^2)E(Y)-E^2(X)E(Y)=\lambda .$$

（Ⅱ） $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$P\{Y=j\}=\frac{{\lambda }^j}{j!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }(j=0,1,2,\cdots )$，$Z=XY$ 的可能取值为全体整数。

当 $k$ 为正整数时，$P\{Z=k\}=P\{X=1,Y=k\}=P\{X=1\}P\{Y=k\}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$。

当 $k$ 为负整数时，$P\{Z=k\}=P\{X=-1,Y=-k\}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\lambda }^{-k}}{(-k)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$。

当 $k=0$ 时，$P\{Z=0\}=P\{X=-1,Y=0\}+P\{X=1,Y=0\}=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }={\mathrm{e}}^{-\lambda }$。

综上，$Z$ 的概率分布为
$$P\{Z=k\}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda },& k=1,2,3,\cdots ,\\ {\mathrm{e}}^{-\lambda },& k=0,\\ \frac{1}{2}\cdot \frac{{\lambda }^{-k}}{(-k)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda },& k=-1,-2,-3,\cdots .\end{array}$$