2018 年考研数学（一） 第 23 题

最大似然的固定流程：连乘似然、取对数、对参数求导置零。这里对数似然是 $-n\ln \sigma -\frac{1}{\sigma }\sum |x_i|$，一阶条件立刻给出 $\hat{\sigma }=\frac{1}{n}\sum |X_i|$。第二问因 $\hat{\sigma }$ 是 $|X_i|$ 的样本均值，$E,D$ 都归结为单个 $|X|$ 的矩：利用密度关于原点对称把积分折到半轴，求出 $E|X|,E|X{|}^2$，再得 $E(\hat{\sigma }),D(\hat{\sigma })$。把统计量的矩化成总体矩、逐个积分，是关键。

（Ⅰ） 似然函数为
$$L(\sigma )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\sigma )=\frac{1}{2^n{\sigma }^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{\sigma }{\sum }_{i=1}^n|x_i|},$$
取对数 $\ln L=-n\ln 2-n\ln \sigma -\frac{1}{\sigma }\sum _{i=1}^n|x_i|$。

令 $\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\sigma }=-\frac{n}{\sigma }+\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n|x_i|=0$，得 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|X_i|$。

（Ⅱ） 先求 $E(|X|)$ 与 $E(|X{|}^2)$：
$$E(|X|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|\frac{1}{2\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{|x|}{\sigma }}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }\frac{x}{\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{\sigma }}\mathrm{d}x=\sigma ,$$
$$E(|X{|}^2)={\int }_0^{+\infty }\frac{x^2}{\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{\sigma }}\mathrm{d}x=2{\sigma }^2,D(|X|)=2{\sigma }^2-{\sigma }^2={\sigma }^2.$$

于是
$$E(\hat{\sigma })=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(|X_i|)=E(|X|)=\sigma ,$$
即 $\hat{\sigma }$ 是 $\sigma$ 的无偏估计。

$$D(\hat{\sigma })=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(|X_i|)=\frac{D(|X|)}{n}=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$