2018 年考研数学（一） 第 17 题

第二类曲面积分且散度简单（$1+3y^2+3z^2$），强烈暗示走高斯公式。障碍是 $\Sigma$ 不闭，标准手法为"补面—用公式—减补面"：补 $x=0$ 的圆盘围成实心半椭球。补面特意选在坐标面上，使 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 等投影为零、补面积分自动消失。剩下的三重积分因区域绕 $x$ 轴旋转对称，换柱坐标最省事。

分析： $\Sigma$ 不封闭，补一块平面把它补成封闭曲面，用高斯公式化为三重积分，再用柱坐标计算。

补曲面 ${\Sigma }_1:x=0(3y^2+3z^2\le 1)$，取后侧，记 $\Sigma$ 与 ${\Sigma }_1$ 围成的立体为 $\Omega$（外侧）。由高斯公式
$${\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_1}={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial (y^3+2)}{\partial y}+\frac{\partial z^3}{\partial z}\right)\mathrm{d}V={\iiint }_{\Omega }(1+3y^2+3z^2)\mathrm{d}V.$$

在 ${\Sigma }_1$ 上 $x=0$，且它在 $zx$、$xy$ 坐标面上的投影为零，故 ${\iint }_{{\Sigma }_1}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$。于是 $I={\iiint }_{\Omega }(1+3y^2+3z^2)\mathrm{d}V$。

作柱坐标 $y=r\cos \theta ,z=r\sin \theta ,x=x$，$\Omega :0\le x\le \sqrt{1-3r^2},0\le r\le \frac{1}{\sqrt{3}},0\le \theta \le 2\pi$：
$$I={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{d}r{\int }_0^{\sqrt{1-3r^2}}(1+3r^2)r\mathrm{d}x=2\pi {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}(1+3r^2)\sqrt{1-3r^2}r\mathrm{d}r.$$

令 $t=\sqrt{1-3r^2}$，则 $1+3r^2=2-t^2$，$r\mathrm{d}r=-\frac{1}{3}t\mathrm{d}t$：
$$I=\frac{2\pi }{3}{\int }_0^1(2-t^2)t^2\mathrm{d}t=\frac{2\pi }{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{14\pi }{45}.$$