2018 年考研数学（一） 第 16 题

"定长铁丝分段围图形、求面积和最小"是标准条件极值：约束是周长之和固定，目标是面积和。每个图形面积都能写成其周长平方乘常数，于是目标函数是 $x^2,y^2,z^2$ 的正系数组合，配上线性约束正好用拉格朗日乘数法。三个偏导方程都形如"变量正比于 $-\lambda$"，说明驻点唯一；又因可行域是有界闭集，还需与边界取值比较，才能确认此驻点给出最小值。

分析： 设三段长分别为 $x,y,z$，则约束 $x+y+z=2$、$x,y,z\ge 0$，把三个图形面积之和写成 $x,y,z$ 的函数，用拉格朗日乘数法求条件极值，再与边界比较。

圆周长 $x\Rightarrow$ 面积 $\pi {\left(\frac{x}{2\pi }\right)}^2=\frac{x^2}{4\pi }$；正方形周长 $y\Rightarrow$ 面积 $\frac{y^2}{16}$；正三角形周长 $z\Rightarrow$ 面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{z}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2$。于是
$$f(x,y,z)=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2.$$

构造拉格朗日函数 $L=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2+\lambda (x+y+z-2)$，令
$$L_x=\frac{x}{2\pi }+\lambda =0,L_y=\frac{y}{8}+\lambda =0,L_z=\frac{\sqrt{3}}{18}z+\lambda =0,x+y+z=2.$$

解得唯一驻点
$$x_0=\frac{2\pi }{\pi +4+3\sqrt{3}},y_0=\frac{8}{\pi +4+3\sqrt{3}},z_0=\frac{6\sqrt{3}}{\pi +4+3\sqrt{3}},$$
此时 $f(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$。

又当有一段为 $0$（如 $x=0$）时，最小值为 $f\left(0,\frac{8}{4+3\sqrt{3}},\frac{6\sqrt{3}}{4+3\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{4+3\sqrt{3}}>\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$，边界取值更大。

所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为 $\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$。