2018 年考研数学（一） 第 15 题

$\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}$ 是"求导简单、积分困难"的因子，这是分部积分的典型信号，且应把它留作被求导的一方。把 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 凑成 $\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{2x})/2$ 提到微分号后，$\arctan$ 求导会约掉 $1+({\mathrm{e}}^x-1)={\mathrm{e}}^x$，只剩含 $\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}$ 的初等积分；之后对根式再凑一次微分即可收尾。选谁作分部、往哪里凑，是本题成败关键。

分析： 先对 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 凑微分作分部积分，把反正切号求导去掉，再对剩下的有理无理式积分。

$$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{2x})=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{2}\int {\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}\left(\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\right).$$

由 $\mathrm{d}\left(\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\right)=\frac{1}{1+({\mathrm{e}}^x-1)}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^x}{2\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}\mathrm{d}x$，得
$$=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{4}\int \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{2}\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}.$$

再对后一积分分部：
$$\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}={\mathrm{e}}^x\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\int \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{2}{3}({\mathrm{e}}^x-1{)}^{\frac{3}{2}}.$$

代回并整理（$-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}+\frac{1}{3}({\mathrm{e}}^x-1{)}^{\frac{3}{2}}=-\frac{1}{6}({\mathrm{e}}^x+2)\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}$）：
$$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{6}({\mathrm{e}}^x+2)\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}+C.$$