2018 年考研数学（一） 第 14 题

条件 $BC=\varnothing$ 不是摆设，它让 $P(ABC)=0$，把事件运算里最难缠的三交项清零。随后严格按条件概率定义展开：分子 $AC(AB\cup C)=ABC\cup AC$ 中前项归零、只剩 $P(AC)$，分母用加法公式 $P(AB)+P(C)-P(ABC)$。再把两处独立性代成乘积，整个式子化为 $P(C)$ 的线性方程，解出即可。先用互斥简化、再用独立性拆积，是这类事件题的主线。

本题考查条件概率与事件独立性。 由 $BC=\varnothing$ 得 $P(BC)=0$，又 $ABC\subset BC$，所以 $P(ABC)=0$。

$$P(AC\mid AB\cup C)=\frac{P[AC(AB\cup C)]}{P(AB\cup C)}=\frac{P(ABC\cup AC)}{P(AB\cup C)}=\frac{P(AC)}{P(AB\cup C)}.$$

利用独立性 $P(AC)=P(A)P(C)$、$P(AB)=P(A)P(B)$，且 $P(ABC)=0$：
$$\frac{P(A)P(C)}{P(AB)+P(C)-P(ABC)}=\frac{\frac{1}{2}P(C)}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+P(C)-0}=\frac{1}{4}.$$

解方程 $2P(C)=\frac{1}{4}+P(C)$，得 $P(C)=\frac{1}{4}$。