2018 年考研数学（一） 第 13 题

见到 ${\mathbf{A}}^2$ 作用在特征向量上，立即想到特征值平方 ${\lambda }_i^2$。把条件展成 ${\lambda }_1^2{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2^2{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，靠线性无关"逐项对比系数"得 ${\lambda }_i^2=1$。再用"两个不同特征值"这一限定排除相等情形，$\lambda$ 只能一正一负，行列式等于特征值之积，答案立现。

本题考查特征值与行列式的关系。 设 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2)$，则 ${\mathbf{A}}^2{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i^2{\mathbf{\alpha }}_i$。

由 ${\mathbf{A}}^2({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)={\lambda }_1^2{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2^2{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，而 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，故 ${\lambda }_1^2={\lambda }_2^2=1$。

因 $\mathbf{A}$ 有两个不同特征值，故 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-1$，于是 $|\mathbf{A}|={\lambda }_1{\lambda }_2=-1$。