2018 年考研数学（一） 第 12 题

直接参数化这条空间大圆很麻烦，但 $L$ 在 $x,y,z$ 互换下不变，这个轮换对称性是突破口：$\oint xy=\oint yz=\oint zx$，于是把目标换成对称组合 $\frac{1}{3}\oint (xy+yz+zx)$。而 $xy+yz+zx$ 可由 $(x+y+z{)}^2$ 与 $x^2+y^2+z^2$ 表出，恰好两个约束把它压成常数。剩下只需大圆周长 $2\pi$。对称化加用约束消元，是这类题的标准打法。

本题考查第一类曲线积分的对称性。 由 $L$ 关于变量 $x,y,z$ 的轮换对称性，
$${\oint }_{L}xy\mathrm{d}s={\oint }_{L}yz\mathrm{d}s={\oint }_{L}zx\mathrm{d}s=\frac{1}{3}{\oint }_L(xy+yz+zx)\mathrm{d}s.$$

在 $L$ 上 $x+y+z=0$，$x^2+y^2+z^2=1$，故
$$xy+yz+zx=\frac{1}{2}[(x+y+z{)}^2-(x^2+y^2+z^2)]=\frac{1}{2}(0-1)=-\frac{1}{2}.$$

$L$ 是半径为 $1$ 的大圆，${\oint }_L\mathrm{d}s=2\pi$，所以
$${\oint }_{L}xy\mathrm{d}s=\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\oint }_L\mathrm{d}s=-\frac{1}{6}\cdot 2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$