2018 年考研数学（一） 第 11 题

"求旋度"是纯公式题，成败在于套准那个行列式、把符号和求导顺序理清。应先对一般 $(x,y,z)$ 展开行列式得到 $\mathrm{rot}\mathbf{F}$ 的三个分量，最后才代入具体点——若先代点会把变量提前变成常数、求导全成零。按部就班展开即可。

本题考查旋度的计算。 按行列式公式：
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ xy& -yz& zx\end{array}\right|=y\mathbf{i}-z\mathbf{j}-x\mathbf{k}.$$

在点 $(1,1,0)$ 处，$\mathrm{rot}\mathbf{F}(1,1,0)=1\cdot \mathbf{i}-0\cdot \mathbf{j}-1\cdot \mathbf{k}=\mathbf{i}-\mathbf{k}$。