2018 年考研数学（一） 第 10 题

积分里是抽象的 $f^{\prime \prime }$，题目却只肯给端点信息，这就暗示"用分部积分把 $f^{\prime \prime }$ 降到 $f^{\prime },f$，再用端点值收尾"。$\int x{f}^{\prime \prime }=\int x\mathrm{d}{f}^{\prime }$ 分部后恰好只剩 $f^{\prime }(1)$ 与 $f(1)-f(0)$，都是条件能定的量。把相切翻译成 $f(1)=2$、$f^{\prime }(1)=2\ln 2$，过原点给 $f(0)=0$，一代即得，全程不需 $f$ 的显式表达式。

本题考查分部积分与已知条件的转化。 由相切条件，$f(1)=2$，$f^{\prime }(1)=(2^x{)}^{\prime }{|}_{x=1}=2\ln 2$；又 $f(0)=0$。

用分部积分：
$${\int }_0^{1}x{f}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x\mathrm{d}{f}^{\prime }(x)=x{f}^{\prime }(x){|}_0^1-{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f^{\prime }(1)-[f(1)-f(0)].$$

代入得 ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=2\ln 2-2=2(\ln 2-1)$。