2018 年考研数学（一） 第 9 题

一眼认出 $1^{\infty }$：底趋于 $1$、指数趋于无穷。这类极限通法是取对数或直接用 ${\mathrm{e}}^{\lim v(u-1)}$，把幂的极限降成一个乘积极限。化简时 $u-1$ 通分出 $-2\tan x$，再用等价无穷小 $\tan x\sim x$、$\sin kx\sim kx$，指数极限落成一个关于 $k$ 的简单式子。让它等于结果 $\mathrm{e}$ 的指数 $1$，$k$ 便解出。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限。 利用 $\lim u^v={\mathrm{e}}^{\lim v(u-1)}$，先求指数部分：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin kx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}-1\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin kx}\cdot \frac{-2\tan x}{1+\tan x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{kx}\cdot (-2x)=-\frac{2}{k}.$$

故原极限 $={\mathrm{e}}^{-2/k}=\mathrm{e}$，得 $-\frac{2}{k}=1$，即 $k=-2$。