2018 年考研数学（一） 第 18 题

第一问是纯计算，认出一阶线性、套公式即可。第二问"证存在唯一周期解"的通法是：写出通解，把周期性 $y(x+T)\equiv y(x)$ 转成对积分常数 $C$ 的条件。关键一步是算 $y(x+T)-y(x)$ 并用 $f(t+T)=f(t)$ 换元，把它化简成与 $x$ 无关的表达式；这样"周期"条件就等价于关于 $C$ 的一个线性方程，系数 ${\mathrm{e}}^{-T}-1\ne 0$ 保证解唯一，存在与唯一一并得证。

（Ⅰ） 当 $f(x)=x$ 时，方程为一阶线性方程 $y^{\prime }+y=x$。由通解公式
$$y={\mathrm{e}}^{-x}\left(C+\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\left(C+x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x\right)=C{\mathrm{e}}^{-x}+x-1.$$

（Ⅱ） 方程 $y^{\prime }+y=f(x)$ 的通解为
$$y={\mathrm{e}}^{-x}\left[C+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t\right].$$
下面证明恰有一个 $C$ 使解以 $T$ 为周期。

计算
$$y(x+T)-y(x)={\mathrm{e}}^{-x}\left[\left(\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}-1\right)C+\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}{\int }_0^{x+T}{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t\right].$$

由 $f$ 以 $T$ 为周期，令 $t=u+T$ 得 ${\int }_T^{x+T}{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^T{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{u}f(u)\mathrm{d}u$，于是
$$\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}{\int }_0^{x+T}{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{u}f(u)\mathrm{d}u.$$

代入得 $y(x+T)-y(x)={\mathrm{e}}^{-x}\left[\left(\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}-1\right)C+\frac{1}{{\mathrm{e}}^T}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t\right]$，与 $x$ 无关。

因此 $y(x+T)\equiv y(x)$ 当且仅当
$$C=\frac{1}{{\mathrm{e}}^T-1}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t,$$
即存在唯一的 $C$（从而唯一的解）以 $T$ 为周期。证毕。