2016 年考研数学（一） 第 9 题

分子含 ${\int }_0^x$ 且被积函数积不出显式原函数，这是「变限求导 + 等价无穷小」的典型信号。思路：先把分母换成最简幂 $\frac{1}{2}{x}^4$，再洛必达把积分号求掉，剩下的对数、正弦全用等价无穷小降成纯幂，阶数一配即得 $\frac{1}{2}$。

分析：分母用等价无穷小换掉，分子用洛必达法则（变限积分求导），再用等价无穷小。

当 $x\to 0$ 时 $1-\cos x^2\sim \frac{1}{2}(x^2{)}^2=\frac{1}{2}{x}^4$，故 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}t\ln (1+t\sin t)\mathrm{d}t}{1-\cos x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}t\ln (1+t\sin t)\mathrm{d}t}{\frac{1}{2}{x}^4}.$$

由洛必达法则，分子求导得 $x\ln (1+x\sin x)$，分母求导得 $2x^3$，于是 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x\sin x)}{2x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot x^2}{2x^3}=\frac{1}{2},$$ 其中用到 $\ln (1+x\sin x)\sim x\sin x\sim x^2$。故极限为 $\frac{1}{2}$。