2016 年考研数学（一） 第 8 题

这是多项分布下两个计数变量的相关性。信号：同一批试验里两类结果此消彼长，直觉上负相关。技术核心是 $E(XY)$——由于 $X,Y$ 都是非负整数且总和不超过 $2$，使乘积非零的只有 $(1,1)$，于是期望缩成一个概率，避免了列联合分布表的繁琐。

分析：$X,Y$ 各自服从二项分布，先算期望、方差，再算协方差得相关系数。

$X\sim B\left(2,\frac{1}{3}\right),Y\sim B\left(2,\frac{1}{3}\right)$，故 $E(X)=E(Y)=\frac{2}{3}$，$D(X)=D(Y)=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。

$XY\ne 0$ 只能是 $X=1,Y=1$（此时两次分别出现 $A_1,A_2$），$E(XY)=1\cdot 1\cdot P\{X=1,Y=1\}=\frac{2!}{1!1!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{2}{9}-\frac{4}{9}=-\frac{2}{9}$，于是 $${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{-2/9}{4/9}=-\frac{1}{2}.$$ 应选 A。