2016 年考研数学（一） 第 7 题

关键信号是上界里出现了 $\mu +{\sigma }^2$：标准化时 $\mu$ 恰好被减掉、${\sigma }^2$ 除以 $\sigma$ 只剩 $\sigma$，于是 $p=\Phi (\sigma )$ 与 $\mu$ 无关。想到「标准化能消掉 $\mu$」就抓住了本题，剩下的只是 $\Phi$ 的单调性。

分析：标准化后把概率写成标准正态分布函数 $\Phi$ 的形式，再看它对参数的单调性。

由 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 得 $\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，于是 $$p=P\{X\le \mu +{\sigma }^2\}=P\left\{\frac{X-\mu }{\sigma }\le \sigma \right\}=\Phi (\sigma ).$$

$p=\Phi (\sigma )$ 与 $\mu$ 无关，且 $\Phi$ 是单调增函数，故 $p$ 随 $\sigma$ 的增加而增加，应选 B。