2016 年考研数学（一） 第 6 题

把二次曲面分类转化为求二次型的正、负惯性指数——这是信号。用正交变换化标准形，本质只需特征值的符号。此矩阵每行和都是 $5$，故 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是特征向量、$\lambda =5$，另一重根由迹凑出为 $-1$。符号 $(+,-,-)$ 且 $f=2>0$，即「一正二负」，对应双叶双曲面。

分析：求出二次型矩阵的特征值，用正交变换化为规范形，再判定曲面类型。

二次型的矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$。由 $$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& -2\\ -2& \lambda -1& -2\\ -2& -2& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda +1{)}^2(\lambda -5)=0,$$ 得特征值 ${\lambda }_1=5,{\lambda }_2={\lambda }_3=-1$。

经正交变换二次型化为 $f=5y_1^2-y_2^2-y_3^2$，故 $f=2$ 即 $5y_1^2-y_2^2-y_3^2=2$，即 $\frac{y_1^2}{2/5}-\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_3^2}{2}=1$，一正二负，表示双叶双曲面，应选 B。