2016 年考研数学（一） 第 5 题

判断「哪个结论错」，最有效的是抓住「相似要用同一个 $\mathbf{P}$」这条主线。${\mathbf{A}}^{-1}$、$\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{-1}$ 用的都是原来的 $\mathbf{P}$（${\mathbf{P}}^{-1}f(\mathbf{A})\mathbf{P}=f(\mathbf{B})$），而转置对应的相似矩阵换成了 $({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$。把 $\mathbf{A}$ 与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 相加时两个不同的相似矩阵无法合并，这正是错误选项的来源。

分析：由 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似知存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$。逐一检验。

对 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$ 两边取转置得 $[({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}{]}^{-1}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$，即 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 与 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 相似，(A) 正确。

由 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$ 得 ${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{P}={\mathbf{B}}^{-1}$，即 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 与 ${\mathbf{B}}^{-1}$ 相似，(B) 正确。再由 ${\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{-1})\mathbf{P}=\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^{-1}$，(D) 正确。

而 (A) 中用于 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\sim {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 的相似矩阵是 $({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，与把 $\mathbf{A}$ 化为 $\mathbf{B}$ 的 $\mathbf{P}$ 一般不同，故不能保证 ${\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})\mathbf{P}=\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$，即 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 与 $\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 未必相似，故错误的是 C。