2016 年考研数学（一） 第 4 题

右侧是取整型的阶梯函数，没有求导公式，唯一出路是回到导数定义并用夹逼。识别信号：分界点附近函数由无穷多小段拼成。关键一步是用区间不等式 $\frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}$ 把差商 $\frac{1/n}{x}$ 上下界都逼到 $1$，于是左、右导数都等于 $1$，可导。

分析：先判连续，再用导数定义分别求左、右导数。

$f(0)=0$，$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=0$，而当 $x\to 0^{+}$ 时 $x\in \left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$ 有 $f(x)=\frac{1}{n}\to 0$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0=f(0)$，$f$ 在 $x=0$ 连续。

左导数 $f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{x}=1$。

右导数：当 $\frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}$ 时 $\frac{f(x)}{x}=\frac{1/n}{x}$，由 $\frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}$ 得 $1\le \frac{1/n}{x}<\frac{n+1}{n}$，令 $x\to 0^{+}$（即 $n\to \infty$）由夹逼得 $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$。

因为 $f_{-}^{\prime }(0)=f_{+}^{\prime }(0)=1$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，应选 D。