2016 年考研数学（一） 第 3 题

看到「已知两个解求方程系数」，信号是要用解的结构而非硬解方程。核心想法：非齐次线性方程两解之差是齐次解（能定 $p$），两解的凸组合仍是非齐次解（能定 $q$）。这样把「反推系数」拆成两步代入，比先求通解再拟合系数干净得多。

分析：利用一阶线性微分方程解的结构——两个解之差是对应齐次方程的解，两个解的算术平均仍是非齐次方程的解。

记 $y_1=(1+x^2{)}^2-\sqrt{1+x^2}$，$y_2=(1+x^2{)}^2+\sqrt{1+x^2}$。则 $y_2-y_1=2\sqrt{1+x^2}$ 是齐次方程 $y^{\prime }+p(x)y=0$ 的解。代入得 $$\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}+p(x)\cdot 2\sqrt{1+x^2}=0\Rightarrow p(x)=-\frac{x}{1+x^2}.$$

又 $\frac{y_1+y_2}{2}=(1+x^2{)}^2$ 是非齐次方程 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 的解，代入得 $$q(x)=4x(1+x^2)-\frac{x}{1+x^2}\cdot (1+x^2{)}^2=4x(1+x^2)-x(1+x^2)=3x(1+x^2).$$

故 $q(x)=3x(1+x^2)$，应选 A。