2016 年考研数学（一） 第 2 题

题目问「分段函数的原函数」，信号是原函数要在整个区间上可导，尤其在分界点处不能断开。所以不能对两段各自随意加常数，必须用 $x=1$ 处的连续性把两段常数关联起来。排除选项就看哪一个在 $x=1$ 两侧恰好接得上。

分析：分段求不定积分，再利用原函数在分界点 $x=1$ 处连续来确定常数。

对 $x<1$，$\int 2(x-1)\mathrm{d}x=(x-1{)}^2+C_1$；对 $x\ge 1$，由分部积分 $\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C_2=x(\ln x-1)+C_2$。

写成 $F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2+C,& x<1,\\ x(\ln x-1)+C+1,& x\ge 1,\end{array}$ 其中已用连续性配好常数：$x\to 1^{-}$ 时 $F\to C$，$x\to 1^{+}$ 时 $F\to 1\cdot (0-1)+C+1=C$，连续。

取 $C=0$ 得 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x-1)+1,& x\ge 1,\end{array}$ 应选 D。