2016 年考研数学（一） 第 1 题

看到含参数的反常积分求收敛条件，关键信号是被积函数在两个不同位置（原点与无穷远）都可能出问题。破题第一步是把积分拆成各自只含一个「病点」的两段，用等价无穷小/无穷大把被积函数化成纯幂 $x^{-p}$，再套 $p$-积分判据；两段都收敛才行，取交集即得 $a<1$ 且 $a+b>1$。

分析：被积函数的可能奇点是 $x=0$ 与无穷远处，把积分在 $x=1$ 处拆成两段分别判别。

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^a(1+x{)}^b}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^a(1+x{)}^b}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^a(1+x{)}^b}.$$

当 $x\to 0^{+}$ 时 $\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}\sim \frac{1}{x^a}$，由 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a\cdot \frac{1}{x^a(1+x{)}^b}=1$，知 ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^a(1+x{)}^b}$ 收敛的充要条件是 $a<1$。

当 $x\to +\infty$ 时 $\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}\sim \frac{1}{x^{a+b}}$，由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{a+b}\cdot \frac{1}{x^a(1+x{)}^b}=1$，知 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^a(1+x{)}^b}$ 收敛的充要条件是 $a+b>1$。

两段都收敛原反常积分才收敛，故需 $a<1$ 且 $a+b>1$，应选 C。