2016 年考研数学（一） 第 10 题

纯公式题，信号就是「求旋度」。唯一要点是记准旋度的行列式排布并小心符号；把 $\mathbf{A}=(x+y+z,xy,z)$ 各分量代入，只有 $\frac{\partial }{\partial z}(x+y+z)$ 贡献 $\mathbf{j}$ 分量、$\frac{\partial }{\partial x}(xy)-\frac{\partial }{\partial y}(x+y+z)$ 贡献 $\mathbf{k}$ 分量非零。

分析：直接用旋度的行列式公式计算。

$$\mathrm{rot}\mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ x+y+z& xy& z\end{array}\right|.$$

$\mathbf{i}$ 分量 $=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial (xy)}{\partial z}=0$；$\mathbf{j}$ 分量 $=\frac{\partial (x+y+z)}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=1$；$\mathbf{k}$ 分量 $=\frac{\partial (xy)}{\partial x}-\frac{\partial (x+y+z)}{\partial y}=y-1$。故 $\mathrm{rot}\mathbf{A}=\mathbf{j}+(y-1)\mathbf{k}$。