2016 年考研数学（一） 第 11 题

含抽象函数 $f$ 的隐式方程，直接解 $z$ 不可能，信号是「隐函数求偏导 + 代点」。关键技巧：先求出定点处 $z=1$，再求偏导；由于 $f$ 前带因子 $x^2$，在 $x=0$ 处这些复杂项全部消失，无需知道 $f$ 的具体形式就能得到 $z_x^{\prime }=-1,z_y^{\prime }=2$。

分析：先求 $(0,1)$ 处的 $z$ 值，再对方程两边分别关于 $x,y$ 求偏导，代入求出 $z_x^{\prime },z_y^{\prime }$。

将 $x=0,y=1$ 代入方程 $(x+1)z-y^2=x^{2}f(x-z,y)$ 得 $z-1=0$，即 $z=1$。

两边关于 $x$ 求偏导：$z+(x+1)z_x^{\prime }=2xf(x-z,y)+x^2{f}_1^{\prime }(x-z,y)(1-z_x^{\prime })$。代入 $x=0,y=1,z=1$ 得 $1+z_x^{\prime }=0$，故 $z_x^{\prime }(0,1)=-1$。

两边关于 $y$ 求偏导：$(x+1)z_y^{\prime }-2y=x^2[f_1^{\prime }(x-z,y)(-z_y^{\prime })+f_2^{\prime }(x-z,y)]$。代入 $x=0,y=1,z=1$ 得 $z_y^{\prime }-2=0$，故 $z_y^{\prime }(0,1)=2$。

于是 $\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=z_x^{\prime }(0,1)\mathrm{d}x+z_y^{\prime }(0,1)\mathrm{d}y=-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y$。