2016 年考研数学（一） 第 12 题

直接对 $\frac{x}{1+a{x}^2}$ 连求三次导太繁，看到「$f^{\prime \prime \prime }(0)$」应立刻转成「泰勒展开的 $x^3$ 系数」。信号是求高阶导在一点的值。用已知的 $\arctan$ 展开与几何级数展开凑出 $x^3$ 系数 $a-\frac{1}{3}$，令其等于 $\frac{1}{6}$ 即得 $a=\frac{1}{2}$，把求导彻底换成了代数比较。

分析：用麦克劳林展开求 $x^3$ 项系数，由 $f^{\prime \prime \prime }(0)/3!$ 等于该系数解出 $a$。

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\frac{x}{1+a{x}^2}=x(1-a{x}^2+o(x^2))=x-a{x}^3+o(x^3)$。

故 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a{x}^2}=\left(a-\frac{1}{3}\right)x^3+o(x^3)$。

由 $f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+o(x^3)$，比较 $x^3$ 系数得 $\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}=a-\frac{1}{3}$。由 $f^{\prime \prime \prime }(0)=1$ 得 $\frac{1}{6}=a-\frac{1}{3}$，解得 $a=\frac{1}{2}$。