2016 年考研数学（一） 第 13 题

这是典型的「带状/爪形」行列式，信号是大量零元集中在某一列。破题就是沿零元最多的第一列展开把阶数降下来；一个子式恰为三角行列式可直接读值，另一个再降一阶。按 $\lambda$ 的幂次收拢即得四次多项式。

分析：按第一列展开（第一列只有 $\lambda$ 与 $4$ 两个非零元），逐级降阶。

按第一列展开：$$D=\lambda \left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ 3& 2& \lambda +1\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ \lambda & -1& 0\\ 2& \lambda & -1\end{array}\right|.$$

第二个三阶行列式为下三角，值为 $(-1{)}^3=-1$，故末项为 $4\cdot (-1)\cdot (-1{)}^{4+1}$... 直接计算：$\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ \lambda & -1& 0\\ 2& \lambda & -1\end{array}\right|=-1$，代数余子式带符号后贡献 $+4$。

对第一个三阶行列式再按第一列展开：$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 0\\ 0& \lambda & -1\\ 3& 2& \lambda +1\end{array}\right|=\lambda ({\lambda }^2+\lambda +2)+3$。于是 $$D=\lambda [\lambda ({\lambda }^2+\lambda +2)+3]+4={\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4.$$