2016 年考研数学（一） 第 14 题

本题完全不需要 $\sigma ,n$ 的具体值——信号是置信区间关于 $\bar{X}$ 对称这一结构。抓住「上限 $-$ 中心 $=$ 中心 $-$ 下限」，用 $10.8-9.5=1.3$ 得半径，再反射到左边得下限 $8.2$，一步到位。

分析：正态总体（方差已知情形）均值 $\mu$ 的置信区间关于 $\bar{X}$ 对称，由上限与中心即可求下限。

$\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为 $\left(\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{0.025},\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{0.025}\right)$，区间以 $\bar{X}=9.5$ 为中心。

由置信上限 $\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{0.025}=10.8$ 得 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{0.025}=10.8-9.5=1.3$，从而置信下限 $\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{0.025}=9.5-1.3=8.2$。故所求置信区间为 $(8.2,10.8)$。