2016 年考研数学（一） 第 15 题

区域天然由 $r,\theta$ 描述（心形线的一段），信号极明确——用极坐标。第一步把 $x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 整体写成 $r^2\cos \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，内层对 $r$ 积得 $(1+\cos \theta {)}^3$ 型式；再利用被积函数偶性化到 $[0,\frac{\pi }{2}]$，套华里士公式处理 ${\cos }^2,{\cos }^3,{\cos }^4$ 的积分，避免硬展开。

分析：区域用极坐标给出，直接在极坐标下计算，$x=r\cos \theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。

$${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_2^{2(1+\cos \theta )}{r}^2\cos \theta \mathrm{d}r={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \cdot \frac{r^3}{3}{|}_2^{2(1+\cos \theta )}\mathrm{d}\theta .$$

内层积分 $\frac{1}{3}[8(1+\cos \theta {)}^3-8]=\frac{8}{3}[(1+\cos \theta {)}^3-1]$，而 $\cos \theta [(1+\cos \theta {)}^3-1]={\cos }^4\theta +3{\cos }^3\theta +3{\cos }^2\theta$，故 $${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{8}{3}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^4\theta +3{\cos }^3\theta +3{\cos }^2\theta )\mathrm{d}\theta .$$

被积函数为偶函数，$=\frac{16}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^4\theta +3{\cos }^3\theta +3{\cos }^2\theta )\mathrm{d}\theta$。由华里士公式 $I_4={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^4\theta \mathrm{d}\theta =\frac{3\pi }{16}$，$I_3=\frac{2}{3}$，$I_2=\frac{\pi }{4}$。

$${\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{16}{3}\left(I_4+3I_3+3I_2\right)=\frac{16}{3}\left(\frac{3\pi }{16}+2+\frac{3\pi }{4}\right)=5\pi +\frac{32}{3}.$$