2016 年考研数学（一） 第 16 题

看到二阶常系数方程加反常积分，信号是「根的符号决定收敛，且可借方程本身积分求值」。（Ⅰ）$0<k<1$ 保证两根都为负，指数衰减故积分收敛。（Ⅱ）的巧思是不求显式解，把 $ky=-(y^{\prime \prime }+2y^{\prime })$ 整体积分，利用 ${\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime \prime }=-y^{\prime }(0)$、${\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime }=-y(0)$ 直接得 $\frac{3}{k}$。

（Ⅰ） 微分方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+2\lambda +k=0$，解得 ${\lambda }_1=-1+\sqrt{1-k}$，${\lambda }_2=-1-\sqrt{1-k}$。

因为 $0<k<1$，故 $0<\sqrt{1-k}<1$，从而 ${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$，于是 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}\mathrm{d}x$ 都收敛。方程的通解为 $y=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$，故 ${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=C_1{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}\mathrm{d}x+C_2{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}\mathrm{d}x$ 收敛。

（Ⅱ） 由 ${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0$ 得 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y(x)=0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{y}^{\prime }(x)=0$。由方程 $ky=-(y^{\prime \prime }+2y^{\prime })$，得 $${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{k}\left[{\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x+2{\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime }(x)\mathrm{d}x\right].$$

而 ${\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=y^{\prime }(x){|}_0^{+\infty }=-y^{\prime }(0)=-1$，${\int }_0^{+\infty }{y}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=y(x){|}_0^{+\infty }=-y(0)=-1$。

故 ${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{k}[-1+2\times (-1)]=\frac{3}{k}$。