2016 年考研数学（一） 第 17 题

被积形式恰是某函数的全微分，信号是「积分与路径无关、等于势函数之差」。破题两步：先积出势函数 $f$（关键是识别 $(2x+1){\mathrm{e}}^{2x}$ 是 $x{\mathrm{e}}^{2x}$ 的导数），把曲线积分化为端点函数值之差 $f(1,t)-f(0,0)$；得到 $I(t)={\mathrm{e}}^{2-t}+t$ 后就转成一元函数求极值问题。

求 $f(x,y)$。 由 $\frac{\partial f}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y}$ 关于 $x$ 积分，注意 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{2x}\right)=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x}$，得 $$f(x,y)={\mathrm{e}}^{-y}\int (2x+1){\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x+\phi (y)=x{\mathrm{e}}^{2x-y}+\phi (y).$$ 由 $f(0,y)=\phi (y)=y+1$，故 $f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{2x-y}+y+1$，$\frac{\partial f}{\partial y}=-x{\mathrm{e}}^{2x-y}+1$。

判定与路径无关。 令 $P=\frac{\partial f}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y}$，$Q=\frac{\partial f}{\partial y}=-x{\mathrm{e}}^{2x-y}+1$，则 $\frac{\partial P}{\partial y}=-(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，故曲线积分与路径无关（被积表达式恰为 $\mathrm{d}f$）。

于是 $I(t)={\int }_{L_t}\mathrm{d}f=f(1,t)-f(0,0)=({\mathrm{e}}^{2-t}+t+1)-1={\mathrm{e}}^{2-t}+t$。（也可沿折线计算 ${\int }_0^1(2x+1){\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x+{\int }_0^t(1-{\mathrm{e}}^{2-y})\mathrm{d}y=t+{\mathrm{e}}^{2-t}$。）

求最小值。 由 $I^{\prime }(t)=1-{\mathrm{e}}^{2-t}=0$ 得 $t=2$。又 $I^{\prime \prime }(t)={\mathrm{e}}^{2-t}>0$，故 $t=2$ 时 $I(t)$ 取最小值，最小值为 $I(2)={\mathrm{e}}^0+2=3$。