2016 年考研数学（一） 第 18 题

闭曲面上的第二类曲面积分，信号直指高斯公式，把面积分换成散度的体积分。散度化简为 $2x+1$ 后，积分分成「体积」与「$x$ 的积分」两块；四面体体积用 $\frac{1}{6}$ 底面积乘高，$\iiint x\mathrm{d}v$ 用累次积分算得 $\frac{1}{12}$，合起来 $\frac{1}{2}$。核心是把曲面问题降维成简单区域上的三重积分。

分析：$\Sigma$ 为闭曲面外侧，用高斯公式化为三重积分。

由高斯公式，$$I={\iint }_{\Sigma }(x^2+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3z\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_{\Omega }(2x-2+3)\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }(2x+1)\mathrm{d}v.$$

$\Omega$ 是以 $(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)$ 为顶点的四面体（连同原点），其体积 ${\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 1=\frac{1}{3}$。

$${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}v={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_0^{2(1-x)}\mathrm{d}y{\int }_0^{1-x-\frac{y}{2}}\mathrm{d}z={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x{\int }_0^{2(1-x)}(1-x-\frac{y}{2})\mathrm{d}y={\int }_0^{1}x(1-x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{12}.$$

故 $I=2{\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}v+{\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v=2\times \frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。