2016 年考研数学（一） 第 19 题

迭代数列 $x_{n+1}=f(x_n)$ 加导数有界 $0<f^{\prime }<\frac{1}{2}$，是压缩映射的强信号。第一步用中值定理把相邻差压成公比 $\frac{1}{2}$ 的等比控制，绝对收敛随之而来；再用裂项 $S_n=x_{n+1}-x_1$ 把「级数收敛」翻译成「数列收敛」。极限满足 $a=f(a)$，构造 $\phi (x)=x-f(x)$，用零点存在性与单调唯一性把 $a$ 卡在 $(0,2)$ 内。

（Ⅰ） 由拉格朗日中值定理，$$|x_{n+1}-x_n|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|=|f^{\prime }(\xi )||x_n-x_{n-1}|,$$ 其中 $\xi$ 介于 $x_{n-1}$ 与 $x_n$ 之间。因为 $0<f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$，所以 $|x_{n+1}-x_n|\le \frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|$。

由此递推得 $|x_{n+1}-x_n|\le \frac{1}{2^{n-1}}|x_2-x_1|$。因为级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n-1}}|x_2-x_1|$ 收敛，由比较判别法 $\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n+1}-x_n|$ 收敛，故级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(x_{n+1}-x_n)$ 绝对收敛。

（Ⅱ） 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(x_{n+1}-x_n)$ 的部分和 $S_n=(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\cdots +(x_{n+1}-x_n)=x_{n+1}-x_1$。由（Ⅰ）级数收敛，即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 存在，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在。

令 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，由 $x_{n+1}=f(x_n)$ 及 $f$ 的连续性得 $a=f(a)$。令 $\phi (x)=x-f(x)$，则 $a$ 是 $\phi (x)$ 的零点。因为 $\phi (0)=-f(0)=-1<0$，$\phi (2)=2-f(2)=1-[f(2)-f(0)]=1-2f^{\prime }(\eta )>0$（$\eta \in (0,2)$，$f^{\prime }(\eta )<\frac{1}{2}$），所以 $\phi (x)$ 在 $(0,2)$ 内有零点。

又 ${\phi }^{\prime }(x)=1-f^{\prime }(x)>0$，故 $\phi (x)$ 严格单调，只有唯一零点且位于 $(0,2)$ 内。于是 $0<a<2$，即 $0<\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n<2$。