2016 年考研数学（一） 第 20 题

含参矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$，信号是「按秩讨论」。把 $\mathbf{B}$ 的两列一起随 $\mathbf{A}$ 化简（增广矩阵），阶梯形中第三行主元正比于 $(a-1)$、第二行主元正比于 $(a+2)$，决定了分类点。$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})=3$ 时唯一解；$a=1$ 时秩降为 $2$ 出现自由元得无穷多解；$a=-2$ 时出现矛盾行 $r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})$ 无解。

分析：对增广矩阵 $(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})$ 作初等行变换，按 $|\mathbf{A}|=(a+2)(a-1)$ 是否为零分类讨论。

$$(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 2& 2\\ 2& a& 1& 1& a\\ -1& 1& a& -a-1& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 2& 2\\ 0& a+2& 3& -3& a-4\\ 0& 0& a-1& 1-a& 0\end{array}\right).$$

当 $a\ne -2$ 且 $a\ne 1$ 时，$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})=3$，$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$ 有唯一解 $$\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{3a}{a+2}\\ 0& \frac{a-4}{a+2}\\ -1& 0\end{array}\right).$$

当 $a=1$ 时，$(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})=2<3$，有无穷多解。设 $\mathbf{X}=({\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2)$，$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -k_1-1& -k_2-1\\ k_1& k_2\end{array}\right)(k_1,k_2\text{为任意常数}).$$

当 $a=-2$ 时，$(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})\to \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& 2& 2\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{A}\mid \mathbf{B})$，故 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$ 无解。