2016 年考研数学（一） 第 21 题

求 ${\mathbf{A}}^{99}$ 这类高次幂，信号是「对角化 + 幂只作用在对角阵上」。$\mathbf{A}$ 三个特征值互异保证可对角化，幂运算集中到 ${\mathbf{\Lambda }}^{99}$。第（Ⅱ）问的关键洞察是 ${\mathbf{B}}^2=\mathbf{B}\mathbf{A}\Rightarrow {\mathbf{B}}^{k+1}={\mathbf{B}}^k\mathbf{A}$，逐级把 ${\mathbf{B}}^{100}$ 降为 $\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{99}$；再按「矩阵右乘等于对列作线性组合」读出 ${\mathbf{\beta }}_i$ 关于 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 的系数（恰是 ${\mathbf{A}}^{99}$ 的各列）。

（Ⅰ） 由 $$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ -2& \lambda +3& 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|=\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)=0$$ 得特征值 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=0$。

分别解 $(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{X}=0$ 得特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$（${\lambda }_1=-1$），${\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$（${\lambda }_2=-2$），${\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$（${\lambda }_3=0$）。

令 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathrm{diag}(-1,-2,0)$，${\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -2\\ -1& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$。故 $${\mathbf{A}}^{99}=\mathbf{P}\mathrm{diag}((-1{)}^{99},(-2{)}^{99},0){\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{2}^{99}-2& 1-2^{99}& 2-2^{98}\\ 2^{100}-2& 1-2^{100}& 2-2^{99}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

（Ⅱ） 由 ${\mathbf{B}}^2=\mathbf{B}\mathbf{A}$ 得 ${\mathbf{B}}^{100}={\mathbf{B}}^{98}{\mathbf{B}}^2={\mathbf{B}}^{99}\mathbf{A}=\cdots =\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{99}$，即 $$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{ccc}{2}^{99}-2& 1-2^{99}& 2-2^{98}\\ 2^{100}-2& 1-2^{100}& 2-2^{99}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

故 $$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1=(2^{99}-2){\mathbf{\alpha }}_1+(2^{100}-2){\mathbf{\alpha }}_2+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_3,\\ {\mathbf{\beta }}_2=(1-2^{99}){\mathbf{\alpha }}_1+(1-2^{100}){\mathbf{\alpha }}_2+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_3,\\ {\mathbf{\beta }}_3=(2-2^{98}){\mathbf{\alpha }}_1+(2-2^{99}){\mathbf{\alpha }}_2+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_3.\end{array}$$