乐思数学通 › 考研数学（一） › 真题检索 › 2016 年

2016 年考研数学（一）第 22 题

解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}

上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .

（Ⅰ）写出

(X, Y)

的概率密度；

（Ⅱ）问

U

与

X

是否相互独立？并说明理由；

（Ⅲ）求

Z = U + X

的分布函数

F (z)

。

提示 1

（Ⅰ）均匀分布的密度是常数

= 1/

面积，先算区域

D

的面积。

提示 2

（Ⅱ）判断独立用定义：取一对具体的

(u, x)

检验

P {U \leq u, X \leq x}

是否等于

P {U \leq u} P {X \leq x}

，取

u = 0, x = \frac{1}{2}

作反例即可。

提示 3

（Ⅲ）

U

只取

0, 1

，按

z

的范围分段：

0 \leq z < 1

只有

U = 0

贡献，

1 \leq z < 2

需叠加

U = 0

与

U = 1

两部分。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f (x, y) = 3$ （ $(x, y) \in D$ ），其余为 $0$ ；（Ⅱ）不独立；（Ⅲ） $F (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{3/2} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}, 1, z < 0 0 \leq z < 1 1 \leq z < 2 z \geq 2$

思路（为什么这么做）

均匀分布的信号是「密度

= 1/

面积」。独立性用定义找反例最省事——离散的

U

与连续的

X

只需一个点就能否定独立。求

Z = U + X

的分布函数关键在

U

是

0

1

离散：按

U

取值把事件

{U + X \leq z}

分解成

{U = 0, X \leq z}

与

{U = 1, X \leq z - 1}

，再按

z

落在

[0, 1)

或

[1, 2)

分段积分。

解答

（Ⅰ） 区域

D

的面积为

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

，故

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {3, 0, (x, y) \in D, (x, y) \in / D .

（Ⅱ） 设

(U, X)

的联合分布函数为

G (u, x)

。取

u = 0, x = \frac{1}{2}

：

G (0, \frac{1}{2}) = P {U \leq 0, X \leq \frac{1}{2}} = P {X > Y, X \leq \frac{1}{2}} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x \int_{x^{2}}^{x} 3 d y = \frac{1}{4} .

而

P {U \leq 0} = P {X > Y} = \int_{0}^{1} d x \int_{x^{2}}^{x} 3 d y = \frac{1}{2}

，

P {X \leq \frac{1}{2}} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x \int_{x^{2}}^{x} 3 d y = \frac{2}{2} - \frac{1}{8}

。因为

\frac{1}{4} \neq = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{2} - \frac{1}{8})

，所以

U

与

X

不相互独立。

（Ⅲ） 当

z < 0

时

F (z) = 0

。当

0 \leq z < 1

时（此时只有

U = 0

才可能使

Z \leq z

）：

F (z) = P {U = 0, X \leq z} = P {X > Y, X \leq z} = \int_{0}^{z} d x \int_{x^{2}}^{x} 3 d y = \frac{3}{2} z^{2} - z^{3} .

当

1 \leq z < 2

时：

F (z) = P {U + X \leq z} = P {U = 0, X \leq z} + P {U = 1, X \leq z - 1} = \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2} .

当

z \geq 2

时

F (z) = 1

。

综上

F (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.

考点：二维随机变量与联合分布、随机变量的独立性、二维随机变量函数的分布

← 2016 年全部题目

2016 年考研数学（一） 第 22 题

2016 年考研数学（一）第 22 题