2016 年考研数学（一） 第 23 题

出现 $\max \{X_1,X_2,X_3\}$，信号是最大值的分布函数等于各自分布函数之积 $F^3$。先求 $F$、再取三次方、求导得 $f_T$。无偏估计的套路是令 $E(aT)=\theta$：算得 $E(T)=\frac{9}{10}\theta$，故取 $a=\frac{10}{9}$ 把系数补正。整题是「次序统计量分布 + 矩法配系数」的组合。

（Ⅰ） 总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{x^3}{{\theta }^3},& 0\le x<\theta ,\\ 1,& x\ge \theta .\end{array}$

设 $T$ 的分布函数为 $F_T(t)$，由样本独立同分布，$$F_T(t)=P\{\max \{X_1,X_2,X_3\}\le t\}=P\{X_1\le t\}P\{X_2\le t\}P\{X_3\le t\}=F^3(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ \frac{t^9}{{\theta }^9},& 0\le t<\theta ,\\ 1,& t\ge \theta .\end{array}$$

求导得 $T$ 的概率密度 $$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{9t^8}{{\theta }^9},& 0<t<\theta ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（Ⅱ） $E(aT)=aE(T)=a{\int }_0^{\theta }t\cdot \frac{9t^8}{{\theta }^9}\mathrm{d}t=a\cdot \frac{9}{{\theta }^9}\cdot \frac{{\theta }^{10}}{10}=\frac{9a}{10}\theta$。由无偏性要求 $E(aT)=\theta$，得 $\frac{9a}{10}=1$，即 $a=\frac{10}{9}$。故当 $a=\frac{10}{9}$ 时，$aT$ 为参数 $\theta$ 的无偏估计。