2015 年考研数学（一） 第 8 题

关键是把待求量线性展开，逐项化为题目给出的 $E(X),E(Y),D(X)$。两个转换桥梁：不相关 $\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$；方差定义 $\Rightarrow E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2$。看出题目恰好只给这三样，就知道必须朝这两个公式去凑。

本题考查期望、方差与不相关的关系。 由 $X,Y$ 不相关得 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，从而 $E(XY)=E(X)E(Y)$。又 $E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2$。

展开：
$$E[X(X+Y-2)]=E(X^2)+E(XY)-2E(X).$$

代入数值：
$$=(D(X)+[E(X){]}^2)+E(X)E(Y)-2E(X)=(3+4)+2\times 1-2\times 2=7+2-4=5,$$
应选 D。