2015 年考研数学（一） 第 9 题

看到 $\ln (\cos x)$ 这种「1 附近的对数」，第一反应是配成 $\ln (1+t)$ 用等价无穷小 $t$。接着把 $\cos x-1$ 换成 $-\frac{x^2}{2}$，与分母 $x^2$ 同阶，极限一步到位。也可用洛必达，但等价替换更快更稳。

利用等价无穷小替换。 当 $x\to 0$ 时 $\cos x-1\to 0$，由 $\ln (1+t)\sim t$ 得 $\ln (\cos x)=\ln [1+(\cos x-1)]\sim \cos x-1$。

又 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

（也可用洛必达法则：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\tan x}{2x}=-\frac{1}{2}$。）故填 $-\frac{1}{2}$。