2015 年考研数学（一） 第 10 题

对称区间上的积分，第一步永远先看奇偶性能否消项——这是最省力的切入。奇函数 $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 直接归零，只剩偶函数 $|x|$ 折半计算，从而避开了对 $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 求原函数的麻烦。

利用被积函数的奇偶性。 积分区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 关于原点对称。

$\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 是奇函数，其在对称区间上的积分为 $0$；$|x|$ 是偶函数。故
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}|x|\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\mathrm{d}x.$$

$=2\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^{\frac{\pi }{2}}={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{4}$。故填 $\frac{{\pi }^2}{4}$。