2015 年考研数学（一） 第 11 题

求某点处的全微分，采用「先定点、后微分」最稳：先由方程解出该点的 $z$，再对方程整体取全微分。因为最终要代入具体点，展开式中凡带因子 $x=0$ 或 $z=0$ 的项都会消失，计算被大大简化。

隐函数求全微分。 先定点值：将 $x=0,y=1$ 代入方程 ${\mathrm{e}}^z+xyz+x+\cos x=2$，得 ${\mathrm{e}}^z+1=2$，即 $z=0$。

对方程两边求全微分：
$${\mathrm{e}}^z\mathrm{d}z+yz\mathrm{d}x+xz\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}z+\mathrm{d}x-\sin x\mathrm{d}x=0.$$

将 $x=0,y=1,z=0$ 代入：$\mathrm{d}z+0+0+0+\mathrm{d}x-0=0$，得
$$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=-\mathrm{d}x.$$
（对应 ${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{(0,1)}=-1,{\frac{\partial z}{\partial y}|}_{(0,1)}=0$。）故填 $-\mathrm{d}x$。