2015 年考研数学（一） 第 12 题

抓住区域关于 $x,y,z$ 的轮换对称性，可把三个坐标的积分「合并同类项」，一步提出系数 $1+2+3$，从而只需算一个 $\iiint z\mathrm{d}v$，避免分别计算三个积分。这种「先用对称性简化被积函数、再积分」是多元积分的常用省力法。

利用积分区域关于变量的对称性。 $\Omega$ 是由 $x+y+z=1$ 与坐标面围成的四面体，它关于 $x,y,z$ 三个变量地位对称，故
$${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }y\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v,$$
从而 ${\iiint }_{\Omega }(x+2y+3z)\mathrm{d}v=(1+2+3){\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v=6{\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v.$

化累次积分（$0\le z\le 1-x-y$）：
$$6{\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}v=6{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}\mathrm{d}y{\int }_0^{1-x-y}z\mathrm{d}z=3{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}(1-x-y{)}^2\mathrm{d}y.$$

${\int }_0^{1-x}(1-x-y{)}^2\mathrm{d}y=\frac{(1-x{)}^3}{3}$，代入得
$$3{\int }_0^1\frac{(1-x{)}^3}{3}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x{)}^3\mathrm{d}x={-\frac{(1-x{)}^4}{4}|}_0^1=\frac{1}{4}.$$
故填 $\frac{1}{4}$。