2015 年考研数学（一） 第 13 题

这类「三对角带角元」的 $n$ 阶行列式，标准招数是按非零元最少的行或列展开，建立低一阶的递推。得到 $D_n=2D_{n-1}+2$ 后迭代化为等比数列求和即可。关键第一步是选对展开行——第一行只有两项，最省事。

按第一行展开建立递推。 记该 $n$ 阶行列式为 $D_n$。第一行只有 $a_{11}=2$ 和 $a_{1n}=2$ 两个非零元。按第一行展开：$a_{11}=2$ 对应的余子式是同型的 $(n-1)$ 阶行列式 $D_{n-1}$；$a_{1n}=2$ 对应的代数余子式为一个下三角块，其值为 $(-1{)}^{1+n}\cdot (-1{)}^{n-1}=1$。故
$$D_n=2D_{n-1}+2\times 1=2D_{n-1}+2.$$

反复递推：
$$D_n=2D_{n-1}+2=2(2D_{n-2}+2)+2=2^2{D}_{n-2}+2^2+2=\cdots =2^{n-1}{D}_1+2^{n-1}+\cdots +2^2+2.$$
而 $D_1=2$，故 $D_n=2^n+2^{n-1}+\cdots +2^2+2$。

这是首项 $2$、公比 $2$ 的等比数列求和：
$$D_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2.$$
故填 $2^{n+1}-2$。